Un groupe G satisfait l'alternative de Tits si tout sous-groupe de G contient ou bien un groupe résoluble d'indice fini, ou bien un groupe libre sur deux générateurs. Le résultat classique de Jacques Tits est que les groupes linéaires GL(n,K) satisfont cette alternative, quitte à se restreindre aux sous-groupes de type fini quand le corps de base K est de caractéristique positive. Dans ce mini cours je discuterai l'alternative de Tits pour le groupe de Cremona de rang 2, y compris une version en caractéristique positive. Ce sera aussi l'occasion de présenter divers résultats de classification pour les transformations de Cremona, notamment la classification en termes de croissance des degrés des itérés (croissance bornée, polynomiale ou exponentielle), et le dictionnaire avec l'action sur un hyperboloïde de dimension infinie (action elliptique, parabolique, ou loxodromique). Le cours s'appuie sur le dernier chapitre de mon livre (version préliminaire disponible sur ma page web), et sur des résultats de Cantat et Urech.
Immanuel van Santen (Basel)
Algebraic families of automorphisms and solvability
This mini-course is based primarily on ongoing joint work with Serge Cantat, Hanspeter Kraft, and Andriy Regeta.
The group of algebraic automorphisms Aut(X) of a variety X can be extremely large and rich, for example when X is the affine space. A useful philosophy for understanding Aut(X) is to mimic results from the theory of algebraic groups. In particular, algebraic group actions on X give rise to the notion of algebraic subgroups of Aut(X). More generally, there is a natural notion of a family of automorphisms, which leads to concepts of connectedness and dimension, first introduced by Ramanujam.
A central question addressed in this mini-course is: given an irreducible family of automorphisms of X containing the identity, under which conditions does it generate an algebraic subgroup of Aut(X)? When the members of the family commute pairwise and X is affine, a result of Cantat, Regeta, and Xie shows that such a family indeed generates an algebraic subgroup. We extend this result to the case where the family generates a solvable subgroup and X is only assumed to be quasi-affine.
In the mini-course, I will present the proof of this result along with several applications. These include a structure theorem for connected solvable subgroups analogous to the classical case of connected solvable affine algebraic groups, a bound on the derived length of a Borel subgroup of Aut(X) in terms of dim X, and a characterization of the affine space among connected quasi-affine varieties via these Borel subgroups. If time permits, I will also briefly discuss analogous results in the birational setting.
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